FORMULAS DIVERSAS y PRACTICAS

ÍNDICE  

GENERICO

Aumentos máximos aconsejados

Aumentos obtenidos por presencia de Oculares

Campo aparente del Ocular

Diámetro de imagen obtenido sobre film

Focales equivalentes

Proyección de Ocular

Tamaño obtenido sobre film o chip

Tiempo de exposición

ASTROFOTOGRAFÍA con CÁMARAS DIGITALES CCD, CMOS, NMOS

A FOCO PRIMARIO

AUMENTO APARENTE

CAMPO CAPTADO

RESOLUCIÓN en arc.seg.

En presencia de Digitales

En presencia de Oculares

DISTANCIAS Y SU CÁLCULO EN CIELO PROFUNDO

Distancia a "Cefeidas"

Distancias entre objetos A y B

Método Magnitudes

Magnitud Aparente

Magnitud Absoluta

Método Paralaje

MEDIR LA VELOCIDAD DE "ADSL"

________________________  

GENERICO

• CAMPO APARENTE del OCULAR

Dada la importancia de este parámetro en una observación, presentamos el cálculo practico siguiente, conociendo como premisa que la velocidad aparente de desplazamiento es de  

15 segundos de arco  por cada  1 segundo de tiempo

el "campo aparente" de ese Ocular para un Telescopio concreto, se calculará con el Telescopio parado, verificando el tiempo "T" que tarda en recorrer el diámetro de dicho ocular y luego aplicando la fórmula siguiente, en función de la Declinación "a" de dicha estrella

"Campo aparente del Ocular"  =  T^s x 15^"/s x cos a

Ejemplo:    Calcular el "Campo aparente" de un Ocular concreto, situado en un Telescopio concreto (ya que con la DF), al verificarlo con una Estrella cuya Declinación es de 23º y se cronometraron 59^s en recorrer el diámetro de dicho Ocular.

Campo aparente  = 59^s x 15^"/s x cos 23º = 814,64"  =  0º13,6' 

• TAMAÑO OBTENIDO sobre Film o Chip

Vendrá dado por la fórmula, que nos permitirá calcular los aumentos con Barlow o Proyección por Ocular, e incluso las reducciones mediante Reductoras de focal, para que nos quepa en el film o chip utilizado, de los que conocemos su anchura y altura

"Tamaño en mm sobre film o chip"  =  Ø del objeto en segundos de arco x DF en mm / 206265

Ejemplo: Captar Júpiter de Ø 49" con un Telescopio de DF 2000mm  Ø 203mm

Tamaño = 49" x 2000mm / 206265  =  0,47mm   lo que demuestra ser demasiado pequeño, 

siendo necesario aplicar aumentos por ejemplo en "Proyección por Ocular" con Ocular de 12,5mm df separado a 77,9mm, obteniéndose una DFeq = 12464mm, obteniendo ahora  

Tamaño = 49" x 12464mm / 206265  =  2,96mm, y ahora respecto a un chip por ejemplo de CCD_ATIK de 4,60x3,97mm ya sería más apropiado   .(ver por relacionado TABLA_01 de composiciones)

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• FOCALES EQUIVALENTES

Las diferentes composiciones: Foco Primario, Barlow, Reductor de focal, Proyección de Ocular, etc., permiten variar la distancia focal "DF" y por tanto aumentos considerables por el efecto de variación del campo abarcado.

En estas fórmulas:  

Fe	Es la focal equivalente – Feq - tras las diversas intervenciones indicadas
Fo	Es la focal original del telescopio, aunque en la práctica es más usual utilizar la “F”, por simple  Focal” comodidad y  luego proceder a la transformación simple, para la obtención de la nueva y resultante  “Distancia DFeq = Feq x Ø
Faf	Es la focal del objetivo en la cámara fotográfica
f	Sea la distancia focal – dfoc - de los Oculares
p	Distancia entre el plano de lentes del Ocular (situado y fijado generalmente en el TeleExtender) y el  plano del film en la cámara.

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• TIEMPO de EXPOSICIÓN

Debido al movimiento de rotación de la Tierra, las estrellas se desplazan aparentemente, por lo que si no aquilatamos debidamente el tiempo de exposición, obtendremos al fotografiar estrellas, trazos en vez de puntos.

Existe una relación, fácilmente demostrable, que nos da el valor del tiempo de exposición en función de varios parámetros:

E = L / ( tg H x F )  

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• PROYECCION por OCULAR

Dada las preguntas relacionadas con el “Tele Extender” y su aplicación para el procedimiento “Proyección por Ocular”, adjunto imagen en donde se muestran dos tipos “el FIJO” y “el VARIABLE”, que permiten situar y fijar en su interior el Ocular correspondiente.

También se muestran algunos anillos de fijación, para Cámaras, Telescopios, etc., cuyos diámetros, rosca y tipo dependerán de los que acepten los equipamientos en lo que se deba enroscar.

Luego estas Focales equivalentes “F_eq”, multiplicadas por el Ø del objetivo nos dará la nueva Distancia Focal obtenida “DF_eq” del Telescopio,

 que dividida por la df_oc – distancia focal del ocular interpuesto -  nos indicará el aumento equivalente obtenido.

EJEMPLO (Proyección por Ocular)

Supongamos disponemos de un Telescopio de 150mm Ø y 750mm DF por tanto “F5 y que deseamos ver los Cráteres de la Luna con bastante detalle:

Composición: Telescopio > Barlow x2 > TeleExtender con Ocular de 12,5mm a 70mm del film > Cámara fotográfica (con film).

Supongamos que desde el plano de lentes del Ocular en el Tele Extender hasta el plano del film fotográfico, tenemos una distancia de 70mm

Nueva “F” obtenida =  5 x 2 x [(70mm / 12,5mm df) – 1] = 46  y  DF_eq = 150mm x 46 = 6.900mm

aunque existe otra fórmula y concepto de interpretación denominada "EFFECTIVE FOCAL LENGHT"  utilizada por CELESTRON

Nueva "DF" obtenida = ( 750mm x 2 ) x 70mm / 12,5mm df = 8.400mm

Equivale a un Telescopio, que tuviese una DF de 6900mm, naturalmente con esa distancia focal, se capta (en el primer planteo y 8.400mm en el segundo) a mejor y con más detalles el Cráter en cuestión, p.e.

Pero los aumentos resultantes (552X), en este ejemplo hipotético, nos han salido superiores a lo que teóricamente puede el telescopio en cuestión (354,3X), lo que “no nos asegura la nitidez y el detalle”, e incluso el ajuste de “puesta en estación” debe ser muy perfecto, para que no se note tanto y suponiendo que no exista nada de viento.

Todo ello hace pensar, que hemos preparado un incremento demasiado grande, proponiendo por ejemplo sacar la Barlow, obteniéndose para el mismo cálculo una nueva DF_eq de 4370mm y por tanto un aumento equivalente de 349,6X más acorde con la apertura 150mm Ø del telescopio del ejemplo.  

(ver por relacionado TABLA_01 de composiciones)

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• PODER RESOLUTIVO OPTICO del TELESCOPIO

En principio sea:               ± 115,908 / Ø mm   segundos de arco

EJEMPLO:

Celestrón indica para sus telescopios:

8” = 203,2mm Ø = 0,57",  para un 11” = 279,4mm Ø = 0,41"  y para un 14” = 355,6mm  Ø = 0,33"

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• AUMENTOS ACONSEJABLES   “MAXIMOS”

En principio sea:               ± 2,362 x Ø mm  

EJEMPLO:

Celestrón indica para sus telescopios:

8” = 203,2mm Ø = 480X, para un 11” = 279,4mm Ø = 660X, para 14” = 355,6mm Ø = 840X

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• DIAMETRO de la IMAGEN OBTENIDA sobre un FILM

Una imagen captada por un Telescopio, llega tras los diferentes oculares, o sin ellos, etc., hasta el film de la cámara fotográfica en donde quedará registrada a punto del revelado y el tamaño, o mejor el diámetro del Objeto fotografiado sobre el film de la cámara fotográfica, vendrá dado por:

 Ø = ( Ø” x DF_eq ) / 206265”

Siendo:

Ø	El diámetro a obtener en el film	en mm
Ø”	Diámetro del objeto a fotografiar	en segundos de arco
DFeq	La distancia focal equivalente y resultante de la modalidad “Foco primario”, “Proyección por Ocular”, etc.	en mm
206.265”	360º / ( 2 x 3,141592 ) = 57º17’44,8”	valor angular del Radián
EJEMPLO:
La “Luna”	Ø”  = 0º31’5,2” = 1865,2”
DFeq	6.900 mm  ( del ejemplo anterior – Proyección por Ocular )
Obtenemos en el film  Ø	= ( 1865,2 x 6900 mm ) / 206.265 = 62,39 mm de Luna

Naturalmente nos indica este resultado, que hemos aplicado un aumento excesivo y cabrá la “Luna” casi totalmente en un film de formato 60x90, que es para cámaras algo caras y en las de formato más corriente de 24x36 naturalmente solo cabrá la mitad.

Este tipo de aumentos o mayores, sería más aplicable para captar con detalles: Cráteres de la Luna, Manchas en el Sol, Protuberancias en el Sol, etc.

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• AUMENTO en CÁMARA FOTOGRAFICA por la presencia de Oculares

A  =  ( e – df_oc ) / df_oc

Siendo:

A	Grado de ampliación
e	Espacio entre Ocular y Film
dfoc	Distancia focal del Ocula

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ASTROFOTOGRAFIA con CAMARAS DIGITALES, CCD, CMOS, NMOS

• CAMPO CAPTADO

El campo captado por la CCD dependerá básicamente de: “Tamaño del chip” y de la “Focal equivalente”

Campo = ( H / DF_eq ) x 57º17’44,8”

Siendo:

H	Lado mayor efectivo del chip CCD en mm
DFeq	La distancia focal equivalente y fruto de la colocación o no de Oculares, e incluso Reductores de focal, etc.
57º17’44.8”	Valor angular del Radián  (360º / (2 x 3,141592..) = 206265 segundos de arco
EJEMPLO:
H	4,895mm
DFeq	2000mm
Obtenido	( 4,895 / 2000 ) x 57º17’44,8” = 0,140º = 8,41 minutos de arco

Para más información sobre este tema ver CAMPO CAPTADO "Plate Scale"

Por su interés, ver en ÍNDICE de EJEMPLOS, el E_03 - Gran campo en zona de "Leo"

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• PODER RESOLUTIVO del TELESCOPIO

En ocasiones es de interés, conocer el “poder resolutivo del Telescopio” , por su interés en la captación de detalles, lo que nos lleva a conocer cuál debería ser la DF_eq y con el dato proceder con Oculares, Reductores, etc.:

DF_eq = ( P x 206265 ) / PR

En donde:

DFeq	Distancia focal equivalente (fruto de elementos adicionales en el Telescopio).
P	Tamaño del pixel
206.265	Valor angular del Radián ( 2p rad. equivalen a 360º, como 1 rad. es a 57º17'44,8'' = 206.265 arc.seg.)
PR	Poder resolutivo teórico, en segundos de arco (arc.seg)
EJEMPLO:
P	= 0,0074mm
PR	= 0,59”
Obtenemos	= ( 0,0074 x 206.   265 ) / 0,59 = 2587mm  (DFeq mínima para ese valor resolutivo)

Habitualmente la cámara CCD trabaja a foco primario en cualquier telescopio: esto proporciona un campo aparente y un aumento determinado como ya sabemos; en este caso la resolución máxima dependerá directamente de la focal y de la resolución teórica del instrumento: a mayor focal mayor poder resolutivo en la imagen obtenida, dentro de los límites teóricos del telescopio que depende directamente del diámetro del objetivo.

Trabajando con un catadióptrico Schmidt-Cassegrain p.e. de 8” Ø 203,2mm de diámetro y 1.833,88mm de DF_eq, la cámara “ST-4” en B/N captura un campo de 291" y sabiendo que tiene 165 pixeles de lado el poder resolutivo será:

291" : 165 pixeles = 1,76 " cada pixel

He redondeado los valores del campo aparente obtenido y el número de pixeles (puesto que en realidad la cámara posee 192 x 165 pixeles por lo cual la resolución es ±1,76" x ±1,51" según el eje) para tener una idea aproximada de los límites de la misma y cuando la focal se duplique a 4.000 mm este valor puede descender a 0,77" pixel.

Como el poder resolutivo teórico de un catadióptrico de Ø 203,2mm es casi 0,6" sería inútil tratar de superar dicho valor en este aparato duplicando de nuevo la focal; otra cosa es emplear un telescopio de mayor diámetro (un Ø 300mm por ejemplo) cuya resolución teórica sería de 0,4" si la atmósfera lo permitiese (lo cual es altamente improbable incluso sí trabajamos desde un lugar de alta montaña).

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• PODER RESOLUTIVO del PIXEL

Ya puestos, a veces nos puede interesar conocer la resolución teórica del pixel en función de la distancia focal equivalente con la que trabajemos; esto puede determinarse por la fórmula:

PR = ( P x 206.265 ) / DF_eq

en donde P es el tamaño del pixel (en mm), 206.265 una constante y DF_eq del instrumento; de este modo si trabajo con la “MX5” acoplada al catadióptrico de DF_eq = 2000mm obtengo entonces una resolución teórica de:

PR = (0,0074 x 206.265) / 2000 = 0,76 segundos de arco por pixel

Cantidad que está bastante por debajo del valor de la turbulencia media de un observatorio; si acoplo la misma CCD a un instrumento con una distancia focal de DF_eq = 1.000 mm la resolución será:

PR = (0,0074 x 206.265) / 1000 = 1,53 segundos de arco por pixel

La resolución teórica es ahora más aproximada al valor habitual de la turbulencia y por tanto las imágenes obtenidas a “Foco primario” se verían menos afectadas, que si las obtengo con mi instrumento.

Sin embargo en el momento en que se capturen sistemas estelares notamos que este valor rápidamente se degrada ya que la luz se difunde en el chip debido a la turbulencia, la refracción de la luz en el objetivo del telescopio y a que los astros “engordan” al acumular luz: por ello no podremos resolver sistemas cuya separación sea inferior a 10 segundos de arco en los mejores casos salvo que se hagan tomas brevísimas (y ello, a veces, nos impide capturar la secundaria si ésta es más débil que la primaria), se impone por tanto alargar la focal.

• Relacionado con este tema, es de interés conocer el Seeing y el FWHM, que queda indicado en la TABLA_06, que indica sobre la escala de Pickering sus valores del 1 al 10, en arc.seg., más la configuración del equipamiento necesaria para conseguir la resolución también en arc.seg. y como complemento la calidad de fondo de cielo en arc.seg.

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CAMARAS DIGITALES a “FOCO PRIMARIO”

En el caso más simple, el detector CCD se coloca directamente en el plano focal del telescopio (foco primario o foco Cassegrain – ambos sin Optica -.

En el caso más complejo se añade delante del CCD un Ocular – en el TeleExtender – para poder “magnificar” – aumentar – o “reducir” la escala sobre el detector.

Dado que el mejor componente óptico en un telescopio es el telescopio mismo, para aplicaciones de imagen con CCD, lo más recomendable es colocar directamente el CCD en el plano focal (directamente a “Foco primario” en un telescopio como los S.C.)

La escala en el CCD (medida en segundos de arco por milímetro), vendría dada en principio por:

PS_tel = 206.265 / F_eq

Siendo:

PStel	es el “plate scale” en escala de placa del telescopio en seg./mm
206.265	ya comentado, es los segundos de arco del Radián
Feq	es la focal equivalente del telescopio, fruto de magnificación.

Para poner un ejemplo bonito, en el telescopio llamado CFHT, en el observatorio de MaunaKea en Hawaii, la cámara CCD a "Foco Primario" tiene una escala de 13,7 seg./mm. De ahí que para captar grandes campos en el “cielo profundo” utilice el mayor mosaico de CCD actual del mundo.

Cada uno de los 40 CCD’s tiene 2000 x 4000 pixeles y en su conjunto barre un campo de 1º x 1º, con una resolución de 0,187 segundos por pixel – en donde cada pixel tiene 0,015mm de lado, para poder muestrear adecuadamente los 0,7 segundos, que de media tiene el seeing en ese observatorio.

Volviendo a la realidad práctica de nuestro hobby, para una imagen directa a “Foco primario”, el ángulo del Cielo subtendido “q” por cada pixel del detector viene dado por:

q =  PS_tel x Ø_pixel

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AUMENTO APARENTE

El ojo humano sin cristalino sigue teniendo una lente potente que es el conjunto de córnea y humor acuoso. Si se eliminara del todo el poder dióptrico del ojo entonces actuaría como una cámara sin objetivo. Esto sólo tendría sentido si alguien quisiera implantarse de forma permanente un teleobjetivo en el ojo.

De todas formas no es un tema de ciencia-ficción. Hay en el mercado "Telescopios intraoculares" para mejorar la visión en enfermedades de la retina. Si te interesa puedes introducir "Intraocular telescopes" en cualquier buscador.

Para establecer una equivalencia entre aumentos y distancia focal a foco primario, hay que considerar el tamaño de la superficie sensible que se use.

El aumento puramente aparente, lo obtendríamos:

Aumento aparente = DF_eq  / Diag_chip

Siendo:

DFeq	Distancia focal equivalente
Diagchip	Diagonal efectiva del chip de la CCD
EJEMPLO:
DFeq	1279mm       (F = 6,3 de un Schmidt-Cassegrain DF = 2032mm)
Diagchip	4,6mm          (supuesta en ATK1CII)
Obtenemos	1279 / 4,6 = 278 aumento

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DISTANCIAS y SU CALCULO en “Cielo Profundo”

• METODO por "PARALAJE"

Generalmente se utiliza el “sistema de Paralaje”, consistente en obtener dos ángulos de referencia para la observación de un Objeto celeste, situando estos puntos de observación a una cierta distancia.

En la práctica, para cielo profundo y como las distancias son enormes, se acostumbra a situar estos puntos de observación separados medio año, es decir dos distancias sumadas Tierra – Sol y dividiéndolas por dos obtendremos para cada punto de observación, un ángulo a y b según la posición del año, apuntando al Objeto.

Luego cada vez con uno de ellos obtenemos triángulos rectángulos, de los que conocemos la base, que es un cateto (una de las distancias al Sol ) y el ángulo de la base “a” y “b” naturalmente opuesto al Sol, ya que el de él será el ángulo recto (90º).

Por simple trigonometría podemos obtener el otro Cateto, que será la distancia media al Objeto en cuestión.

EJEMPLO:

Distancia supuesta a un “Objeto Celeste” hipotético:

• Distancia Tierra a Sol en ese momento y posición = 145.700.000 Km.

D₁ = 145.700.000 Km x tg 87º35’ = 3.452.294.063 Km.

• Cuando obtengamos la otra medida, pasados seis meses (estaremos al otro lado del diámetro) de la elipse en el sistema Sol - Tierra

• Distancia al Tierra a Sol en ese momento y posición = 151.800.000 Km.

D₂ = 151.800.000 Km x tg 87º25’ = 3.364.492.189 Km.

• Efectuamos la media entre las dos, para una mayor eficacia en la medida obtenida,

• Entonces  (3.452.294.063 Km. + 3.364.492.189 Km.) / 2 = 3.408.393.126 Km.

3.408.393.126 Km.  /  (9,46 x 10¹²)  =  0,00036 Años luz

De tener la posibilidad de contactar al momento con alguien situado en el otro punto muy distante de nuestro Observatorio, podríamos aplicar el “Teorema de los Senos” y obtendríamos de inmediato la distancia perpendicular al plano de observación y por tanto la distancia media al Objeto.

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• DISTANCIA ENTRE DOS OBJETOS

Conocidas sus coordenadas, poder obtener la distancia entre dos Objetos de Cielo Profundo, e incluso el Campo cubierto por ellos.

Todo ello simplemente situando sus coordenadas ecuatoriales AR y DEC en la  TABLA_02

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• DISTANCIA a "Cefeidas"

Para calcular la distancia a una "Cefeida", debemos saber dos cosas, la magnitud visual media de la estrella variable, y el período de su variación. Para eso nos vamos al campo con un telescopio durante unos cuantos meses y vamos calculando el diagrama período-luminosidad de la "Cefeida" en cuestión. Esto se hace apuntando la magnitud visual de la estrella cada cierto tiempo (por un método que hay que no requiere ningún instrumento, sólo los ojos) y luego construyendo una curva en un sistema de coordenadas donde en el eje "y" pondremos la magnitud visual y en el "x" el tiempo.

Por lo visto hace algún tiempo Pogson calculó que las estrellas de sexta magnitud eran 100 veces menos brillantes, que las estrellas de primera magnitud. De este modo la diferencia de brillo por cada magnitud es: raíz quinta de 100 = 2,5118864. Por lo tanto y para hacerlo matemático tenemos que: 

2,5119 ^{m'- m} = B/B' 

donde, m es la magnitud visual de una estrella y con el signo m' la magnitud visual de otra estrella, B es el brillo o luminosidad de dicha estrella y con el signo B' el de la otra. Si esto no lo ves, no te preocupes, esta expresión matemática está sacada simplemente de razonar lo que descubrió Pogson.

Despejamos y tenemos que: 

m'- m = 2,5 log (B / B'). 

Como el brillo de una estrella es directamente proporcional al cuadrado de la distancia a ella tenemos que 

m' - m = 2,5 log (D / D')² 

donde "D" es la distancia a una estrella. Despejando el "elevado al cuadrado" y teniendo en cuenta que hay un logaritmo nos sale que m' - m = 5 log (D/D'). Si no has seguido esto (no sé que nivel tienes de mates) no te preocupes, solo es ir despejando y haciendo cuentas. 

Ahora introducimos el concepto de magnitud absoluta (M) que es la magnitud visual de la estrella si estuviese a 10 parsec (1 parsec = 3,26 años_ luz). Si la estrella que brilla con magnitud m' la colocamos a 10 parsec entonces tenemos que: 

M - m = 5 log (10 / D)

Despejando tenemos que  M - m = 5 - 5 log D.  Sabiendo M podríamos saber la distancia, sin embargo el brillo de la estrella se ve mermado por el polvo que existe entre ella y nosotros, lo que aparenta que brille menos, por eso debemos tener en cuenta el coeficiente de extinción estelar (Av) que es un valor muy variable, pero podemos coger este dato, el cual lo he sacado de Internet, Av = 0,141. 

Así nos queda que  M- m = 5 - 5 log D - Av. 

Más tarde se estableció experimentalmente que M = - 2,25 log P - 1,5 donde "P" es el período de la estrella variable.

Resumiendo, tenemos dos fórmulas:

De este modo fabricándote tu curva período-luminosidad tras noches de frío,  sabrás la magnitud visual media (m) de la estrella en cuestión y el período (P). Sustituyendo calculas la distancia. 

EJEMPLO:

Bien, tu profesor te ha dado el dato de m = 0 pero no te ha dado el dato del período P, lo cual es dificultoso. 

Dices que se trata de una estrella variable de un cúmulo en Hércules. Estoy seguro que no se trata de un cúmulo globular porque la magnitud es 0,0 y estas estrellas brillan muy poco, así que se tratará de alguna estrella de un cúmulo abierto. 

Busqué por Internet a ver si encontraba qué cúmulos abiertos y que estrellas variables hay en ellos en la constelación de Hércules, pero nada. 

Así que supongo que tu profesor lo que quiere es que busques qué tipos de estrellas "Cefeida" hay, ya que según el tipo de "Cefeida" el período P será más o menos corto. 

Considerando que se trata de una "Cefeida" clásica, el período de éstas varía entre 1 y 150 días. Vamos a hacer la media aritmética de estas cantidades (1 + 150 / 2 = 75,5 días) y calculamos la distancia de esta supuesta estrella sustituyendo en las fórmulas anteriores. 

Me sale que la distancia es de 130,88 parsec. 

Lo multiplicamos por 3,26 y nos da la distancia en años_luz.  D = 426,7 años_ luz. 

Recuerda que todo depende de cuanto hayamos cogido para el período P de la estrella. 

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METODO por MAGNITUDES

• MAGNITUD APARENTE     ( es decir la puramente óptica ),

Obtenida sobre la base de cien posibilidades, es decir que cada diferencia de brillo o magnitud será la raíz quinta de cien = 2,512 (escala de Pogson) [A una diferencia de cinco magnitudes, corresponde un factor cien de brillo]